Prodotti notevoli: esercizi, esempi e scomposizione

La matematica non è un’opinione e i prodotti notevoli sono una delle tante dimostrazioni di questo antico detto, questi non sono altro che operazioni tra polinomi presenti nelle espressioni algebriche che si risolvono seguendo un procedimento diverso a seconda dei casi.

Cosa sono i prodotti notevoli

Come abbiamo specificato i prodotti notevoli sono forme particolari di prodotti di polinomi che si possono risolvere senza ricorrere alla moltiplicazione, conoscerli è utile per la scomposizione in fattori di un polinomio e di risolvere rapidamente alcuni calcoli.

Esempi di prodotti notevoli

Scomposizione di prodotti notevoli

Prima di vedere quali sono i principali casi di prodotti notevoli, dobbiamo capire quando un polinomio può essere scomposto in fattori. Un polinomio è riducibile se i fattori in cui viene scomposto è di grado inferiore a quello del polinomio stesso. Esempio prodotto notevole somma per differenza visto nel paragrafo precedente: X2 – Y2 = (X+Y) x (X-Y)

I principali casi di scomposizione di prodotti notevoli sono i seguenti:

• Quadrato di binomio: A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2
• Quadrato di un trinomio: (A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC
• Differenza di due quadrati: A^2 – B^2 = (A + B)(A – B)
• Cubo di binomio: A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 = (A + B)^3
• Cubo di binomio: A^3 + 3A^2B + 3AB^2 – B^3 = (A – B)^3
• Somma di cubi: A^3 + B^3 = (A + B) x (A^2 – AB + B^2)
• Differenza di cubi: A^3 – B^3 = (A – B) x (A^2 + AB + B^2)
• Raccoglimento a fattore comune totale: AB + AC + AD = A (B+C+D)
• Raccoglimento a fattore comune parziale: AX + BX + AY + BY = A(X+Y)+B(X+Y)=(X+Y)(A+B)
• Trinomio notevole: X^2 + (A + B)X + AXB= (X + A)(X + B)

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Quadrato di un binomio

Ricordiamo questi due concetti potentissimi che riguardano i prodotti notevoli:

1. Il quadrato della somma di due monomi, è uguale al quadrato del primo monomio a cui si aggiunge il quadrato del secondo monomio e il doppio del prodotto del primo per il secondo monomio.
2. Il quadrato della differenza di due monomi, è uguale al quadrato del primo monomio a cui si aggiunge il quadrato del secondo, e si sottrae il prodotto del primo per il secondo monomio.

Queste due regole, sintetizzate in un’unica regola, danno vita ad un altro concetto matematico: il quadrato di binomio, uno dei casi di scomposizione di prodotti notevoli. Nello specifico, il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo sommato al quadrato del secondo e sommato al doppio prodotto del primo per il secondo. Il segno del doppio prodotto “dipende” dal segno che ha il secondo monomio. Ecco di seguito le due formule che possiamo incontrare:

A^2 + 2AB+B^2 = (A+B)2 oppure A^2 – 2AB + B^2 = (A-B)^2